Le blog du prof de maths

Comment expliquer le mouvement ?

Je lance un projectile. En l'air, il passe par un point A à l'instant t1.

A ma connaissance (surtout à la connaissance des collègues plus compétents que moi dans ce domaine que j'ai interrogés), rien, en physique, à l'heure actuelle, ne permet de répondre à la question : "A l'instant t1, qu'est-ce qui fait que le projectile va continuer à avancer ? Quelle est la cause de son mouvement à cet instant précis ? Où se situe, à cet instant précis, l'information qui lui permet de savoir où il doit aller par la suite ?"

Ce déficit d'explication est très dérangeant...

Est-il possible d'imaginer que le mouvement du projectile se poursuive sans qu'il y ait quelque part, à cet instant précis, une cause qui agisse sur mon projectile ?

Aristote explique dans sa physique que s'il n'y a aucune cause externe qui incite le projectile à aller de A vers B, alors le projectile n'a aucune raison de bouger et il reste immobile.

D'où le principe bien connu des scolastiques : "quidquid movetur ab alio movetur : tout ce qui est mû est mû par un autre." (en clair, quand quelque chose bouge, il faut bien qu'il y ait quelque chose d'autre qui le fasse bouger.) Reprenant Aristote, Saint Thomas d'Aquin donne trois démonstrations de ce principe.

Ce principe a été à peu près unanimement rejeté au nom du principe d'inertie de Galilée (en l'absence de forces extérieures, tout corps est animé d'un mouvement de translation rectiligne uniforme).

A ce stade, je ne vois pas en quoi il y a contradiction entre les deux puisque le principe d'inertie de Galilée n'explique pas la cause du mouvement. Il ne fait que le décrire sans expliquer d'où il vient.

Il faut absolument que j'arrive à éclaircir cette question car elle est à la racine de la physique, puis de la métaphysique d'Aristote. Si ce principe s'écroule, tout s'écroule.

Là où ça devient intéressant, c'est qu'à partir, entre autres, de ce principe, Aristote va jusqu'à prouver l'existence d'un "Dieu" reconnu comme "premier moteur", la cause première du mouvement de l'univers...

La magie des faire-part

Ca y est, les faire-part sont envoyés (il était temps); ce qui fait drôle, c'est d'imaginer le rassemblement en un même lieu et un même temps de tous ces amis que j'ai connus à des endroits et en des époques très différentes. S'ils peuvent tous venir, ce sera très émouvant.

Un oral de Polytechnique (4) : jouons avec l'alphabet

(N , +) n'est pas un groupe car 2 n'a pas d'élément symétrique (l'équation 2+x=0 n'a pas de solution dans N)

(Z , +) est un groupe comme on peut le vérifier aisément.

(R ; +) est aussi un groupe.

(R ; x) n'est pas un groupe à cause du 0 qui n'a pas d'inverse.

(Z ; x) n'est pas un groupe car 2 n'a pas d'inverse.

(R* ; x) est un groupe (l'élément neutre est 1, le symétrique d'un élément est son inverse).

(R+* ; x) est aussi un groupe (on dira tout naturellement que c'est un sous-groupe du précédent).

({1 ; -1} ; x) est encore un groupe (c'est un sous-groupe des deux précédents : l'élément neutre est 1, le symétrique de -1 est lui-même).

Petit jeu de classe de maternelle (très instructif cependant) :

Regardons les lettres majuscules de l'alphabet, et essayons de voir quelles sont leurs axes et centres de symétrie :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Par exemple, la lettre A possède un axe de symétrie vertical.

Fixons quelque part dans le plan le dessin de la lettre A.

Quels sont les isométries (rotations, symétries, translations) qui conservent ce dessin, c'est-à-dire qui laissent cette lettre A à la même place ? Il y en a deux : d'une part il y a la symétrie d'axe D (où D est l'axe de symétrie de la lettre A), notée s_D, et d'autre part il y a l'identité, notée id, c'est à dire la transformation qui consiste à laisser chaque point à sa place (on peut voir aussi l'identité comme étant une rotation d'angle 360°, si on veut). L'ensemble des isométries qui conservent le A est donc {id, s_D}.

Si on munit cet ensemble de la loi de composition °, on a : id°id = id, s_D°s_D = id, et id°s_D = s_D°id = s_D.

N'aurait-on pas là une structure de groupe, par hasard ? Ne s'agirait-il pas d'un groupe tout à fait similaire à l'un de ceux vus plus haut ?

Et qu'en est-il des autres lettres ?

Vous le découvrirez dans les prochains épisodes de notre passionnante série, à supposer que je parvienne à maintenir un peu plus de régularité dans la rédaction de ce blog. (c'est déjà fichu pour la semaine prochaine, mais dès la suivante je m'y remets...)

Une très belle citation

Je crois que c'est ma préférée à l'heure actuelle :

"[...] les philosophes qui assurent que les sciences mathématiques ne traitent ni du Beau, ni du Bien, sont donc dans l'erreur : le Beau est, au contraire, l'objet principal du raisonnement de ces sciences et de leurs démonstrations.

[...] Les formes les plus hautes du Beau sont l'ordre, la symétrie, le défini et c'est là surtout ce que font apparaître les sciences mathématiques."

ARISTOTE, Métaphysique, livre M, 1078a et 1078b

Réflexions sur l'infini (2)

Préliminaire : un peu de dénombrement.

Essayons d'écrire toutes les combinaisons possibles de deux chiffres parmi 0 et 1.

Réponse :

11

01

10

00

Avec trois chiffres :

111

011

101

110

001

010

100

000

Avec quatre chiffres : (exercice, avec obligation de suivre une logique certaine de façon à n'oublier aucun cas. Il y a 16 possibilités)

Revenons à l'infini :

A présent, imaginons la même rangée de boîtes alignées de gauche à droite et numérotées par un entier naturel (0, 1, 2, 3, etc.), et un tas contenant une infinité de boules, chaque boule représentant une suite infinie de chiffres parmi 0 et 1. Par exemple, il y a la boule correspondant à la suite qui ne comporte que des 1 : 1111111111111..., il y a la boule correspondant à la suite qui contient alternativement 1 et 0 en commençant par 1 : 1010101010101010101010..., etc.

Pour prendre conscience de l'extraordinaire densité de cet infini, essayons de classer ces suites de nombres en utilisant la même logique que précédemment :

d'abord, la suite qui ne contient que des 1 :

11111111111111111.....

Puis celles qui ne contiennent qu'un seul 0 (il y en a déjà une infinité) :

01111111111111111.....

10111111111111111.....

11011111111111111.....

etc.

Puis celles qui contiennent deux 0 (il y en a "une infinité d'infinité") :

00111111111111111.....

01011111111111111.....

01101111111111111.....

01110111111111111....

etc.

10011111111111111.....

10101111111111111.....

10110111111111111.....

10111011111111111.....

etc.

11001111111111111.....

11010111111111111.....

etc.

etc.

Puis celles qui contiennent trois 0 (il y en a "une infinité d'infinité d'infinité", exercice)

Puis, peut-être après une longue éternité et beaucoup d'infinités, arriverons-nous à celle qui ne contient que des 0 : 00000000000.....

Entre temps, il ne faudra pas oublier de passer par celles qui contiennent une infinité de 0 (dans quel ordre faut-il les classer ? Est-ce seulement possible de les classer sans en oublier ?...)

Voilà un petit aperçu de la taille "infiniment infinie" de notre ensemble de boules.

A présent, il nous faut nous poser la question : est-il possible, malgré tout, de mettre une boule dans chaque boîte ? Après tout, on a bien vu qu'il était possible de faire correspondre un infini avec un autre apparamment plus petit (par exemple, les entiers naturels avec les entiers naturels pairs). Ici, il y a une infinité d'infinités de boules, mais on pourrait retrousser ses manches et essayer d'inventer un procédé de rangement : par exemple, la première infinité, celle qui correspond aux suites qui contiennent un seul 0, on la rentre dans les boîtes numérotées par un nombre premier. Puis la deuxième infinité, dans les boîtes numérotées par un produit de deux nombres premiers, etc. Malheureusement, ça ne marche pas. Très vite, toutes les boîtes seraient mobilisées et il resterait beaucoup de monde à caser (Faites-le éventuellement pour vous en convaincre).

Alors est-ce possible ou non ?

Eh bien ici, la réponse est non. Quelle que soit la façon dont on s'y prend pour remplir les boîtes, il restera toujours une boule qui n'a pas de boîte. Il n'y a rien à faire, l'infini des boules est dans ce cas vraiment plus grand que l'infini des boîtes.

Démonstration (de Cantor) :

imaginons que nous ayons réussi à trouver un système pour ranger chaque boule dans une boîte.

Mettons, en face du numéro de chaque boîte, la suite de nombres correspondant à la boule que contient la boîte :

Dans la boîte n°0, la boule contenant la suite : 01100010101110100011111..... (par exemple)

Dans la boîte n°1, la boule contenant la suite : 11110100101111000000101....

Dans la boîte n°2, la boule contenant la suite : 11101001010101110001010....

Dans la boîte n°3, la boule contenant la suite : 00101110101001010000010....

Dans la boîte n°4, la boule contenant la suite : 00000000011010110000000....

etc.

Remarque 1 : ne cherchez aucune logique particulière dans l'agencement des chiffres dans les suites, ils sont choisis au hasard.

Remarque 2 : le premier chiffre de la première suite est en gras car il va nous servir, ainsi que le deuxième chiffre de la deuxième suite etc.

Eh bien voici comment trouver une boule orpheline, qui ne peut pas avoir de boîte :

Prenez la suite des chiffres écrits en gras (01100.....), et remplacez les 0 par des 1 et les 1 par des 0. On obtient la suite : 10011.....

Aucune boîte ne contient cette suite. En effet, cette suite diffère de toutes celles qui sont dans les boîtes. Elle diffère de la première par son premier chiffre, elle diffère de la deuxième par son deuxième chiffre, etc. Aucune boîte ne peut contenir cette suite (la boîte n° 231487629, par exemple, ne la contient pas car le 231487629^ème chiffre de la suite qu'elle contient est différent du 231487629^ème chiffre de cette suite-là, par construction.)

Il y a donc strictement plus de suites infinies de 0 et de 1 que d'entiers naturels.

Voilà pourquoi on parle d'infinis plus grands que d'autres en mathématiques. S'il y a une possibilité, étant donnée une infinité de boules et une infinité de boîtes, de mettre exactement une boule dans chaque boîte, on dit qu'il y a autant de boules que de boîtes. Par exemple, on dira qu'il y a autant d'entiers naturels que d'entiers naturels pairs car, comme on l'a vu, on peut associer à chaque nombre pair un unique entier naturel de façon à ce que chacun ait le sien, et qu'il ne reste pas d'orphelin ni d'un côté ni de l'autre (en mettant le 0 avec le 0, le 2 avec le 1, le 4 avec le 2, le 6 avec le 3, etc.).

Grâce à la démonstration de Cantor, on voit qu'il y a strictement plus de nombres réels que d'entiers naturels (un nombre réel n'est pas une suite de 0 et de 1, mais on peut le voir comme une suite de chiffres compris entre 0 et 9, ça revient au même. La démonstration est la même.).

Réflexions sur l'infini (1)

Le but de cette entrée est de familiariser un peu le lecteur avec la manipulation de l'infini numérique, dans le but de présenter ensuite la célèbre démonstration de Georg Cantor qui a donné naissance à l'idée qu'il pouvait y avoir en mathématiques "plusieurs sortes d'infinis", ou encore "des infinis plus grands que d'autres".

Nous avons devant nous une infinité de boîtes numérotées et bien rangées les unes à côté des autres : la boîte n°0 est devant nous, à sa droite se trouve la boîte n°1, puis la boîte n°2, etc. La file des boîtes se prolonge sur la droite à perte de vue, puisqu'il y a une infinité de boîtes, chacune numérotée par l'entier naturel correspondant à sa position dans la file.

Sur notre gauche, nous avons un énorme tas, infini lui aussi, de boules numérotées. Chaque boule porte le numéro d'un entier naturel, et chaque entier naturel est inscrit une fois et une seule sur une boule.

De sorte que chaque boule a sa boîte correspondante : je peux mettre la boule n°0 dans la boîte n°0, la boule n°1 dans la boîte n°1, etc. Si je procède ainsi, aucune boîte ne restera vide et aucune boule ne restera sans boîte. Par exemple, la boîte n° 2319078327 recevra la boule n° 2319078327, et il en sera de même pour n'importe quel entier naturel.

Il est donc naturel de dire qu'il y a exactement autant de boules que de boîtes.Mais les problèmes commencent à surgir si j'essaie de ranger les boules autrement : par exemple, si je mets la boule n°1 dans la boîte n°0, puis la boule n°2 dans la boîte n°1, puis la 3 dans la 2, etc. Toutes les boîtes seront remplies par une unique boule (par exemple la boîte n° 2319078327 contiendra la boule n° 2319078328), mais il restera une boule orpheline, la boule n°0, qui n'aura pas de boîte.

Ou encore, si j'envisage de remplir les boîtes uniquement avec les boules portant un numéro pair (par exemple la boule n°0 dans la boîte n°0, puis la boule n°2 dans la boîte n°1, puis la boule n°4 dans la boîte n°2, puis la 6 dans la 3, etc.), je pourrai remplir ainsi toutes les boîtes (la boîte n° 2319078327 contiendra la boule n° 4638156654), et il me restera une infinité de boules orphelines, toutes celles qui portent un numéro impair.

Inversement, je peux très bien m'arranger pour faire en sorte que chaque boule soit placée dans une boîte et qu'il reste des boîtes vides (exercice).

Alors finalement, y a-t-il autant de boules que de boîtes, y en a-t-il plus ou y en a-t-il moins ? A ce stade, la réponse naturelle est : ni l'un ni l'autre ni le troisième, il semble que ça n'ait pas de sens de comparer des grandeurs infinies.

L'entrée suivante présentera une situation dans laquelle cette réponse n'est pas valable.

Un redoutable sudoku

Voici un sudoku infernal (j'ai abandonné au bout d'une demi-heure), trouvé sur le weblog de Joël Riou :

4	_	1	_	_	_	_	_	6
_	9	_	8	_	_	_	5	_
_	_	_	_	5	_	9	_	_
6	_	_	5	4	_	3	_	_
_	_	3	_	_	7	_	_	_
_	_	_	6	_	_	7	1	_
9	1	_	_	_	8	5	_	3
3	_	_	2	_	_	_	_	_
_	_	8	_	_	_	_	6	_

Si vous vous demandez quel genre de questions se posent, à leurs heures perdues, les mathématiciens de (très) haut niveau à propos du sudoku, une petite visite de ce blog à l'entrée du 17 décembre satisfera votre curiosité.

Comment avoir 19 en philo au bac ?

Treize ans après ce petit exploit qui m'a valu (merci papa) la calculatrice la plus puissante de l'époque (la mythique HP 48 G, avec interface en logique polonaise inverse, détrônée depuis par la TI 92, plus rapide et plus conviviale, mais de conception tellement moins intelligente), et qui me vaut toujours, à chaque fois que j'en parle, ce regard sidéré rempli d'un mélange d'incompréhension totale et de respect absolu (plus encore que lorsque j'annonce que je suis agrégé de maths), treize ans après, donc, je me demande bien ce que je ferais face au même sujet en quatre heures (il faudrait vraiment que j'essaie de le faire, pour voir).

A n'en pas douter, ma copie aurait beaucoup moins de charme.

Cette candeur extraordinaire, qui, à 17 ans, me permettait, non seulement d'associer (au gré de mon imagination et de ma créativité) à chaque phrase du texte que je devais commenter une théorie ou un mot compliqué emprunté à un auteur dont je n'avais rien lu (c'est aussi, malheureusement, une perversion du système scolaire qui veut ça : comment faire autrement pour avoir une bonne note ?), mais encore de juger souverainement du bienfondé de la pensée de chacun de ces auteurs à l'aune de ma propre pensée, cette folle attitude a complètement disparu avec le temps, domestiquée au contact des mathématiques et avec l'expérience de la vie, heureusement.

Je ferais sans doute aussi beaucoup moins de hors-sujet : 50% de ma copie est hors-sujet, si l'on considère que le sujet est l'évolution du vivant, 90% si l'on considère que c'est la cause finale au sein de cette évolution, et 100% si l'on s'en tient au sujet proprement dit, dont je ne parle à aucun moment, et qui est la critique des arguments fallacieux visant à discréditer la cause finale.

Aujourd'hui, je crois que je me bornerais à essayer de dégager au mieux quelques notions-clés comme celle de cause finale et à coller de très près au texte en illustrant chacun de ses arguments. Je reprendrais le coup de la mitochondrie que je trouve très bien placé, mais c'est à peu près tout ce que je garderais de mon ancienne copie. Je serais paralysé si je devais argumenter en faveur d'une théorie ou d'une autre. D'ailleurs en conclusion, j'ignore si j'approuverais ou non l'auteur, n'étant pas moi-même affranchi d'un certain providentialisme à l'égard de l'Homme, mais je n'ai jamais vraiment fondé cette attitude rationnellement et je serais bien incapable d'argumenter dans un sens ou dans l'autre. Bref, il y aurait sur ma copie un tas de questions sans réponse...

Il n'en reste pas moins que la philo me passionne toujours autant. J'ai simplement pris conscience que je n'y connaissais rien...

Maths et littérature : un grand classique.

Ce n'est pas ma citation favorite, mais c'est un incontournable :

"O mathématiques sévères, je ne vous ai pas oubliées, depuis que vos savantes leçons, plus douces que le miel, filtrèrent dans mon cœur, comme une onde rafraîchissante. J'aspirais instinctivement, dès le berceau, à boire à votre source, plus ancienne que le soleil, et je continue encore de fouler le parvis sacré de votre temple solennel, moi, le plus fidèle de vos initiés. Il y avait du vague dans mon esprit, un je ne sais quoi épais comme de la fumée ; mais, je sus franchir religieusement les degrés qui mènent à votre autel, et vous avez chassé ce voile obscur, comme le vent chasse le damier. Vous avez mis, à la place, une froideur excessive, une prudence consommée et une logique implacable. À l'aide de votre lait fortifiant, mon intelligence s'est rapidement développée, et a pris des proportions immenses, au milieu de cette clarté ravissante dont vous faites présent, avec prodigalité, à ceux qui vous aiment d'un sincère amour. Arithmétique ! algèbre ! géométrie ! trinité grandiose ! triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connues est un insensé ! "

Lautréamont.

Mon futur beau-frère est génial.

   Il est plein d'humour et de gentillesse, et il a un coeur immense. Pour couronner le tout, il accepte avec joie de faire des grandes parties de cache-cache qui durent plusieurs heures, ce qui devient assez rare à notre âge, il faut bien le reconnaître...

Bon anniversaire à toi, Damien, et beaucoup de bonheur à vous deux !

Un oral de Polytechnique (3) : la structure de groupe

Nous voilà mûrs pour découvrir la première grande structure algébrique : la structure de groupe.

Un groupe (G, *) est un ensemble d'éléments G muni d'une loi de composition interne * vérifiant les trois propriétés suivantes :

1) Il existe un élément neutre, c'est-à-dire un élément e de l'ensemble G vérifiant, pour tout élément x appartenant à G : e*x = x*e = x

2) Tout élément de G admet un élément symétrique, c'est à dire que si un élément a appartient à l'ensemble G, alors il existe un élément a^-1 appartenant à l'ensemble G vérifiant a*a^-1 = a^-1*a = e

3) La loi * est associative, c'est-à-dire que pour tous éléments a, b et c de G, on a a*(b*c) = (a*b)*c (autrement dit, on peut se passer des parenthèses et faire les opérations dans l'ordre que l'on veut). Remarquons par exemple que l'addition et la multiplication sont associatives, tandis que la soustraction et la division ne le sont pas.

Voilà. C'est tout. Pourquoi ces trois propriétés-là et pas d'autres ? Comment a-t-on eu l'idée d'inventer les groupes ? Pourquoi cette structure, telle la gemme que l'on découvre en creusant patiemment, s'est-elle révélée d'une richesse inouïe ? Cela, il faut le demander au prodigieux Evariste Galois, qui a donné naissance à la théorie des groupes (ce qui n'est rien de moins que l'acte de naissance de toutes les mathématiques modernes) à l'âge de 17 ans, en essayant de trouver des relations entre les racines des équations polynômiales, alors même qu'il se faisait recaler deux fois de suite au concours d'entrée à Polytechnique. Il meurt en 1832 à l'âge de 21 ans. Ses travaux resteront incompris plus de dix ans après sa mort.

Parmi les ensembles suivants (muni chacun d'une loi), lesquels sont des groupes ?

(N , +) ; (Z , +) ; (R ; +) ; (R ; x) ; (Z ; x) ; (R* ; x) ; (R⁺* ; x) ; ({1 ; -1} ; x)

Je suis en retard pour le scoop !

Tous les blogs parlant peu ou prou de maths l'ont déjà annoncé :

 2^{30 402 457}-1 est premier !

Il a été découvert le 15 décembre dernier, et s'écrit avec 9 152 052 chiffres !

C'est le 43^ème nombre de Mersenne premier connu, et le plus grand nombre premier connu à ce jour.

Pour en savoir plus, voir par exemple ici.

Endoctrinement (suite)

A propos de cet élève quelque peu farceur dont il est question dans l'entrée du 5 janvier, peut-être est-il nécessaire de creuser un peu, afin d'essayer de savoir exactement ce qu'il faut retirer ou non de cette amusante anecdote :

D'abord, je constate trois choses qui devraient permettre d'éviter l'écueil qui consiste à dire que l'élève est génial et l'arbitre (qui représente le système) ridicule :

1) L'arbitre a eu lui aussi un prix Nobel.

2) En dépit de son mouvement de rebellion, l'élève savait parfaitement répondre à la question. C'est un point fondamental, et c'est d'ailleurs là qu'est le panache. Il a appris son cours comme les autres, et même mieux que les autres. Seuls ceux qui savent peuvent se permettre de remettre en cause, de protester, car ils protestent en connaissance de cause.

3) Il y a quand même indéniablement de la mauvaise foi dans les réponses de l'élève, puisqu'à aucun moment il n'utilise le baromètre en tant que baromètre, c'est-à-dire pour mesurer la pression atmosphérique. C'est bien évidemment cette contrainte-là (utiliser le baromètre pour ce pour quoi il est fait, ne pas l'utiliser comme un projectile ou un objet de troc !) qui était sous-entendue dans la question posée.

Ceci étant dit, le malaise exprimé par cet élève correspond à une réalité partagée par beaucoup d'autres, une réalité que toute personne aimant comprendre les choses par elle-même (c'est le cas notamment des vocations de chercheur) ressent tout au long de ses études, et même après. Pour ces personnes, toute connaissance nouvelle est perçue comme une agression. On les force à apprendre les choses d'une certaine manière, on leur impose un code, une façon de penser, qui viennent bousculer leurs schémas personnels. Par exemple, dans l'excellent film Un homme d'exception, on voit John Nash (mathématicien prix Nobel d'économie) sécher les cours de la prestigieuse université de Princeton, traitant les autres étudiants de moutons, et prétextant que les cours l'empêchent de penser.

• Cela signifie-t-il qu'il ne faut pas apprendre de nouvelles choses et tout découvrir tout seul ? Non. Il est impossible de progresser seul sans apprendre des autres. Cela signifie qu'il faut assimiler ce qu'on apprend... comme on assimile de la nourriture, jusqu'à ce qu'elle devienne une partie de nous-même. De même, si on apprend suffisamment en profondeur nos cours, ils deviennent une partie de nous-même, exactement comme s'ils avaient été découverts par nous-même. Cela suppose de se poser en permanence des questions comme : pourquoi font-ils comme cela, d'où ce résultat vient-il, et que se passerait-il si j'avais omis cette hypothèse, etc. Jusqu'à ce que cette nouveauté venue de l'extérieur trouve sa place à l'intérieur de nos schémas personnels comme si on l'avait trouvée nous-même.

• Cela signifie-t-il qu'il ne faut pas travailler et faire confiance à son intuition ? Non. Cela signifie qu'il ne faut pas travailler bêtement (faire des choses répétitives sans chercher à les comprendre). Faire des choses répétitives jusqu'à ce qu'elles soient devenues réflexes est très utile pour pouvoir élargir le champ de ses aptitudes et surtout pour libérer l'esprit afin qu'il puisse se concentrer sur d'autres tâches plus compliquées. Mais ce n'est pas là que réside l'essentiel du travail. L'essentiel, c'est de chercher à comprendre. A voir. A avoir une vision d'ensemble. Et cela prend du temps et beaucoup d'énergie. Chacun sait que le génie, c'est 10% d'inspiration et 90% de transpiration. Tous les grands découvreurs travaillent sans compter le temps.

Terminons par cette magnifique citation d'Alexandre Grothendieck (je rappelle qu'il est le plus grand géomètre du vingtième siècle, et sans doute l'homme qui, de son propre aveu, a apporté le plus de notions nouvelles dans l'histoire des mathématiques), extraite de Récoltes et semailles :

"Par la suite, j'ai eu l'occasion, dans ce monde de mathématiciens qui m'accueillait, de rencontrer bien des gens, aussi bien des aînés que des gens plus ou moins de mon âge, qui visiblement étaient beaucoup plus brillants, beaucoup plus "doués" que moi. Je les admirais pour la facilité avec laquelle ils apprenaient, comme en se jouant, des notions nouvelles, et jonglaient avec comme s'ils les connaissaient depuis leur berceau - alors que je me sentais lourd et pataud, me frayant un chemin péniblement, comme une taupe, à travers une montagne informe de choses qu'il était important (m'assurait-on) que j'apprenne, et dont je me sentais incapable de saisir les tenants et les aboutissants. En fait, je n'avais rien de l'étudiant brillant, passant haut la main les concours prestigieux, assimilant en un tournemain des programmes prohibitifs.

La plupart de mes camarades plus brillants sont d'ailleurs devenus des mathématiciens compétents et réputés. Pourtant, avec les recul de trente ou trente-cinq ans, je vois qu'ils n'ont pas laissé sur la mathématique une empreinte vraiment profonde. Ils ont fait des choses, des belles choses parfois, dans un contexte déjà tout fait, auquel ils n'auraient pas songé à toucher. Ils sont restés prisonniers sans le savoir de ces cercles invisibles et impérieux, qui délimitent un Univers dans un milieu et à une époque donnée. Pour les franchir, il aurait fallu qu'ils retrouvent en eux cette capacité qui était leur à leur naissance, tout comme elle était mienne : la capacité d'être seul."

[...]

"Dans notre connaissances des choses de l'univers (qu'elles soient mathématiques ou autres), le pouvoir rénovateur en nous n'est autre que l'innocence. C'est l'innocence originelle que nous avons tous reçue en partage à notre naissance et qui repose en chacun de nous, objet souvent de notre mépris, et de nos peurs les plus secrètes. Elle seule unit l'humilité et la hardiesse qui nous font pénétrer au coeur des choses, et qui nous permettent de laisser les choses pénétrer en nous et de nous en imprégner.

Ce pouvoir-là n'est nullement le privilège de "dons" extraordinaires - d'une puissance cérébrale (disons) hors du commun pour assimiler et pour manier, avec dextérité et avec aisance, une masse impressionnante de faits, d'idées et de techniques connus. De tels dons sont certes précieux, dignes d'envie sûrement pour celui qui (comme moi) n'a pas été comblé ainsi à sa naissance, "au-delà de toute mesure".

Ce ne sont pas ces dons là, pourtant, ni l'ambition même la plus ardente, servie par une volonté sans faille, qui font franchir ces "cercles invisibles et impérieux" qui enferment notre univers. Seule l'innocence les franchit, sans le savoir ni s'en soucier, en les instants où nous nous retrouvons seul à l'écoute des choses, intensément absorbé dans un jeu d'enfant..."

Les probabilités font-elles partie des maths ?

Dans un mouvement d'humeur, un élève m'a dit en classe hier : "les probas, c'est pas des maths."

Je crois que tous ceux qui ont plus ou moins instinctivement la fibre "puriste", qui aiment les maths parce qu'elles sont la science exacte par excellence, qui aiment les maths pour ce qu'elles ont de limpide, de parfaitement simple et rigide, ceux-là ont fatalement cette impression d'impureté en étudiant les premières notions de probabilités. Il y a quelque chose qui ne va pas : les énoncés des exercices de probabilité ressemblent à de la littérature, on n'est jamais totalement sûr de soi dans leur interprétation. Et puis après tout, le hasard existe-t-il ? etc. Dans ce domaine plus que dans d'autres, on a du mal au début à abstraire le contenu strictement mathématique et à avoir les idées parfaitement claires.

Et pourtant, les probabilités sont bien des maths. C'est une science aussi exacte que l'arithmétique. Il est d'ailleurs possible, et c'est même assez élégant, de démontrer des résultats d'arithmétique grâce aux probabilités.

Alors d'où vient cette impression de mauvaise cuisine entre maths et littérature ?

D'abord, elle est liée au fait que c'est le début de l'apprentissage. Au début, on prend toujours des exemples concrets avant d'abstraire le contenu mathématique pur car c'est comme cela que les mathématiques se laissent naturellement découvrir. Les boules rouges et bleues dans les urnes et autres tickets de loto disparaissent bien vite à mesure que l'on avance dans l'étude des probabilités.Très vite il ne reste plus que des calculs, qui, eux, n'ont rien d'hasardeux.

Ensuite, et c'est là que c'est intéressant, il faut bien repérer en probabilités le passage très délicat (mais très net) entre le monde réel et le monde mathématique. Ce passage s'effectue au moment où, pour modéliser la situation réelle, je choisis ma loi de probabilité. A partir du moment où j'affirme que le dé a exactement une chance sur six de tomber sur chaque face, je suis dans le monde mathématique. Je ne parle plus du vrai dé, je parle d'une loi de probabilité sur un ensemble. La question de savoir si le vrai dé a vraiment ou non une chance sur six de tomber sur telle ou telle face (à supposer que cela ait un sens, d'ailleurs, ce qui n'a rien d'évident) n'est pas une question mathématique mais une question philosophique. Le mathématicien se borne simplement à constater a posteriori qu'une fois de plus, ses calculs collent étonnamment bien à la réalité.

Avançons un tout petit peu sur le terrain philosophique :

Tout le monde a déjà fait le petit raisonnement un peu trop rapide suivant : si je savais exactement toutes les conditions du lancer de mon dé, je pourrais calculer avec précision sa trajectoire et savoir à coup sûr sur quelle face il va tomber. Donc lorsque je dis qu'il a une chance sur six de tomber sur chaque face, en fait je ne fais qu'exprimer mon ignorance. Si j'étais omniscient, il n'y aurait pas de hasard pour moi puisque je pourrais tout prévoir avec certitude. Donc le hasard n'est rien d'autre que l'aveu de notre ignorance.

Ce raisonnement est incomplet (et même faux) et passe à côté de l'essentiel. Certes notre ignorance explique que nous ayons besoin des probabilités pour faire nos prévisions, mais elle n'explique pas pourquoi, dans la réalité, le dé tombe effectivement environ une fois sur six sur chaque face. Autrement dit, l'ignorance n'explique pas que chaque lancer de dé soit indépendant des autres (je veux dire que c'est la possibilité bien réelle de répéter successivement une même expérience de façon indépendante qui permet de choisir une loi de probabilité plutôt qu'une autre). Et c'est là qu'il faut chercher la vraie définition du hasard... dans l'indépendance des évènements. Aristote définit le hasard comme la rencontre de chaînes causales indépendantes.

Ne vous laissez pas endoctriner !

J'aime beaucoup cette petite histoire, trouvée sur www.sciences.ch :

"J'ai reçu un coup de fil d'un collègue à propos d'un étudiant. Il estimait qu'il devait lui donner un zéro à une question de physique, alors que l'étudiant réclamait un 20. Le professeur et l'étudiant se mirent d'accord pour choisir un arbitre impartial et je fus choisi. Je lus la question de l'examen : "Montrez comment il est possible de déterminer la hauteur d'un building à l'aide d'un baromètre". L'étudiant avait répondu: "On prend le baromètre en haut du building, on lui attache une corde, on le fait glisser jusqu'au sol, ensuite on le remonte et on calcule la longueur de la corde. La longueur de la corde donne la hauteur du building."

L'étudiant avait raison vu qu'il avait répondu juste et complètement à la question. D'un autre coté, je ne pouvais pas lui mettre ses points: dans ce cas, il aurait reçu son grade de physique alors qu'il ne m'avait pas montré de connaissances en physique. J'ai proposé de donner une autre chance à l'étudiant en lui donnant six minutes pour répondre a la question avec l'avertissement que pour la réponse il devait utiliser ses connaissances en physique. Apres cinq minutes, il n'avait encore rien écrit. Je lui ai demandé s'il voulait abandonner mais il répondit qu'il avait beaucoup de réponses pour ce problème et qu'il cherchait la meilleure d'entre elles. Je me suis excusé de l'avoir interrompu et lui ai demandé de continuer. Dans la minute qui suivit, il se hâta pour me répondre: "On place le baromètre à la hauteur du toit. On le laisse tomber en calculant son temps de chute avec un chronomètre. Ensuite en utilisant la bonne formule connue par tous, on trouve la hauteur du building". A ce moment, j'ai demandé à mon collègue s'il voulait abandonner. Il me répondit par l'affirmative et donna presque 20 à l'étudiant. En quittant son bureau, j'ai rappelé l'étudiant car il avait dit qu'il avait plusieurs solutions à ce problème. "Hé bien, dit-il, il y a plusieurs façons de calculer la hauteur d'un building avec un baromètre. Par exemple, on le place dehors lorsqu'il y a du soleil. On calcule la hauteur du baromètre, la longueur de son ombre et la longueur de l'ombre du building. Ensuite, avec un simple calcul de proportion, on trouve la hauteur du building."

Bien, lui répondis-je, et les autres? A quoi l'élève répondit: "Il y a une méthode assez basique que vous allez apprécier. On monte les étages avec un baromètre et en même temps on marque la longueur du baromètre sur le mur. En comptant le nombre de traits, on a la hauteur du building en longueurs de baromètre. C'est une méthode très directe. Bien sûr, si vous voulez une méthode plus sophistiquée, vous pouvez pendre le baromètre a une corde, le faire balancer comme un pendule et déterminer la valeur de g au niveau de la rue et au niveau de toit. A partir de la différence de g la hauteur de building peut être calculée. De la même façon, on l'attache à une grande corde et en étant sur le toit, on le laisse descendre jusqu'à peu près le niveau de la rue. On le fait balancer comme un pendule et on calcule la hauteur du building a partir de sa période de balancement."

Finalement, l'élève conclut: "Il y a encore d'autres façons de résoudre ce problème. Probablement la meilleure est d'aller au sous-sol, frapper à la porte du concierge et lui dire: "J'ai pour vous un superbe baromètre si vous me dites quelle est la hauteur du building."

J'ai ensuite demandé à l'étudiant s'il connaissait la réponse que j'attendais. Il a admis que oui mais qu'il en avait marre du collège et des professeurs qui essayaient de lui apprendre comment il devait penser."

Pour l'anecdote, l'étudiant était Niels Bohr (prix Nobel de Physique en 1923) et l'arbitre Rutherford (prix Nobel de Chimie en 1908).

Le testament de Human Bomb

Merci à Cyprien pour le livre de Jean-Pierre About : je l'ai dévoré en deux jours !

Ce qui est fascinant, c'est l'élégance, et même le charme de cet homme (Erick Schmitt, alias Human Bomb). L'institutrice qui a gardé les enfants pendant toute la durée de la prise d'otage (46 heures) ne supporte pas qu'on dise de lui que c'est un monstre.

L'auteur, en journaliste professionnel, ne fait que restituer dans son livre les paroles enregistrées dans la salle de classe, il s'interdit scrupuleusement toute interprétation, ce qui prive cruellement le lecteur de la possibilité de penser qu'il se fait manipuler.

Car le problème est qu'il est impossible de ne pas éprouver une certaine sympathie, voire de l'admiration pour ce preneur d'otage. C'est un sentiment assez dérangeant, que tous ceux qui ont suivi de près cette affaire ont ressenti, et qu'il est difficile de regarder en face. Ca remet en cause un certain nombre de conventions bien pratiques.

Le samedi 15 mai 1993, à 4 heures du matin, soit trois heures et demi avant que les tireurs d'élite du Raid ne lui logent trois balles dans la tête (dont deux dans le même trou !), Human Bomb écrivait son testament, dont voici la fin :

"Prisonnier de mes rêves les plus fous, je suis mal assis sur une petite chaise de bambin. Il est quatre heures maintenant, dans la pénombre de cette petite classe aux rideaux bouchant le jardin rempli d'hommes noirs et aux fenêtres scotchées des dessins de ces bambins. Des taches pour masquer toute vue : les magnifiques gribouillages de ces petits d'homme qui oublieront tout dans quelques heures, quelques jours.

Alors, revenons à cette mort dont je sens à peine, mais sûrement, la faux s'affûter sur ma nuque. Mort je suis, il fallait l'être, je m'y suis préparé. Cette farce ne suffira pas au-delà de cette école où ils ont peut-être réalisé le danger d'une bombe humaine telle que moi, HB.

Que l'on m'achève enfin, que vienne enfin le dernier coup qui abattra ce roseau mal pensant qui voulait être chêne, et qui n'était que lui-même, pliant, ployant sous les vents de la vie..."

Le gendarme fait du calcul.

Je viens de finir la biographie de Louis de Funes écrite par ses fils. Passionnant !

Le fils aîné, Patrick, gère le site www.louisdefunes.com, et y intervient souvent.

Une petite visite s'impose...

C'était très simple !

En vrac :

• Pour le défi de la semaine dernière, il suffisait de faire trois triangles équilatéraux (à partir du segment [AB], on construit en deux coups de compas le sommet C tel que ABC soit équilatéral, puis D tel que BCD soit équilatéral, puis E tel que BDE soit équilatéral. Il est facile de se convaincre que E est le symétrique de A par rapport à B)...

• Je propose un prolongement utile au défi précédent : lorsqu'on oublie tout le temps son compas, comment fait-on pour tracer un triangle équilatéral à l'aide des carreaux de sa feuille ? Est-ce possible ? Attention, cet exercice est très difficile.

• Pour l'unicité de l'élément neutre, s'il y en avait deux (e et e'), on aurait e*e' = e et e*e' = e', donc e = e' !

• 5 x 401 se termine, que nous réservera 2 x 17 x 59 ? Un élément de réponse ci-dessous :

• Maman fêtera son anniversaire le 20.06.2006. Je suggère que nous le fêtions à 20h06.

Un oral de Polytechnique(2) : un saut dans l'abstraction

L'élément neutre :

Nous voyons que l'élément neutre e associé à une loi * vérifie la propriété :

pour tout élément x, e*x = x et x*e = x

(par exemple, pour la loi +, 0+5 = 5+0 = 5, ou encore, pour la loi x, 1x5 = 5x1 = 5)

Une fois cette abstraction faite, on ressent forcément une gêne : quand on écrit, par exemple, e*x = x, de quoi parle-t-on exactement ? Qui est x ? Est-ce un nombre ? Est-ce que ça peut être autre chose (une fonction, un vecteur, un cercle, ou même un chou-fleur ou une carotte...) ? De même, qu'est-ce que la loi * ? Est-ce forcément l'une des quatre opérations ? Ou pourrait-ce être autre chose ?

Il y a là un pas à franchir dans l'abstraction. Nous sommes dans la même situation qu'en classe de quatrième, lorsque les x ont commencé à faire leur apparition. La première fois qu'on voit une équation avec un x, on est très perturbé car on aimerait le remplacer par un nombre. On se demande alors : "mais combien vaut-il, x ?" Et, faute de connaître sa valeur, on reste bloqué sans savoir quoi faire. Il faut un assez long apprentissage pour comprendre que x peut être n'importe quel nombre a priori, et pour apprendre à le manipuler sans l'utiliser dans des calculs arithmétiques, en faisant abstraction de sa valeur numérique.

Ici, il va falloir faire abstraction de la nature même des objets que l'on manipule (on ne fait plus à proprement parler des mathématiques, mais de la logique). Par exemple, lorsque j'écris e*x = x, je ne demande pas forcément à e et à x d'être des nombres.

Je leur demande simplement d'être deux éléments d'un ensemble E (E peut être un ensemble de cercles, un ensemble de fonctions, ou même, pourquoi pas, un ensemble de carottes, mais nous n'étudierons ici que des ensembles d'objets mathématiques), et je demande à cet ensemble E d'être muni d'une loi * (le terme exact est "loi de composition interne"), c'est-à-dire d'un processus qui me permet, lorsque je prends deux éléments a et b dans E, d'en associer, de façon unique, un troisième que je note a*b.

Par exemple, si je prends pour ensemble E l'ensemble des intervalles de R, l'intersection (inter) est une loi de composition interne, car si je prends deux intervalles de R, I et J, je peux leur associer de façon unique l'intervalle I inter J. Quel est l'élément neutre pour cette loi ? C'est l'intervalle R tout entier, bien sûr ! Car pour tout intervalle I, I inter R = R inter I = I.

Autre exemple, si je prends pour ensemble E l'ensemble des fonctions de R dans R, la loi ° est une loi de composition interne, car à deux fonctions f et g je peux associer une unique fonction f °g.Pour cette loi, l'élément neutre est la fonction identité f(x) = x. En effet, essayez de déterminer f ° g et g ° f avec n'importe quelle fonction g, le résultat est g.

Exercice : montrer qu'un élément neutre est forcément unique.

L'élément symétrique :

Le symétrique de a, noté a^-1, vérifie a*a^-1 = a^-1*a = e, où e est l'élément neutre. (par exemple, pour l'addition des réels, le symétrique de 5 est -5 car 5 + (-5) = -5 + 5 = 0)

Le symétrique de l'élément x pour la multiplication x est son inverse 1/x : en effet, on a par exemple 5 x 1/5 = 1/5 x 5 = 1.

Un oral de Polytechnique (1)

- A quoi ressemble un oral de maths du concours d'entrée à Polytechnique ?

- A ça :

Déterminer les automorphismes de corps continus de C dans C.

- Et qu'est-ce que ça veut dire ?

- C'est ce que je vais tenter d'expliquer, de façon aussi pédagogique que possible, dans les prochaines entrées de ce blog. Il en faudra un bon nombre, mais j'ai tout mon temps (c'est l'avantage d'un blog). Si vous suivez le feuilleton jusqu'au bout, j'espère qu'il vous sera possible à la fin de résoudre par vous-même le problème posé. Et vous pourrez alors dire : "J'ai su faire un exercice de maths de Polytechnique." (ça fait très classe lors d'un dîner en famille).

Pour ceux qui sont tentés par l'expérience (quel que soit leur niveau en maths), on y va :

• Première étape : Nous allons nous diriger petit à petit vers la compréhension du mot "corps".

Observons quelques analogies entre l'addition et la multiplication :

Première analogie : il existe un élément neutre

On peut remarquer que le 1 joue pour la multiplication le même rôle que le 0 pour l'addition. Ils jouent chacun un rôle neutre : ça ne change rien d'ajouter 0 à un nombre, de même que ça ne change rien de multiplier un nombre par 1.

Essayons de mettre en place cette notion d'élément neutre :

- Qu'est-ce qu'un élément neutre ? Appelons e un élément neutre d'une loi notée * : autrement dit, ce que 0 est pour la loi d'addition (notée +), 1 l'est pour la loi de multiplication (notée x), et e l'est pour la loi notée *. Pouvez-vous expliquer quelle propriété vérifie e ?

- Un peu plus difficile : quel est l'élément neutre pour la loi de composition des fonctions (notée °) ?

Deuxième analogie : chaque élément admet un élément symétrique

Pour l'addition, chaque nombre a un opposé. Ainsi, l'opposé de 5 est -5, parce que 5+(-5)=0. Quel est l'équivalent de l'opposé pour la multiplication ?

Pour une loi *, on note a^-1 l'élément symétrique de a. Quelle est la relation liant a et a^-1 ?

La suite après Noël... Joyeuses fêtes !

P.S. 12 de moyenne au DS des TS1...

Note médiane : 14

Félicitations !

La formule de Héron d'Alexandrie, et un nouveau défi

En réponse au défi de mardi dernier, c'est la formule de Héron qui donne l'aire du triangle en fonction des longueurs des côtés. Vous la trouverez avec sa démonstration par exemple ici.

Pour cette semaine, un peu de géométrie pure : le théorème de Mohr-Mascheroni affirme que toute construction réalisable à la règle et au compas est réalisable au compas seul.

Ce théorème a une histoire à rebondissement : il a d'abord été découvert par Georg Mohr en 1672, puis est tombé dans l'oubli, et a finalement été redécouvert indépendamment par Lorenzo Mascheroni en 1797, soit plus d'un siècle après !

D'après ce théorème, il doit donc être possible de construire, par exemple, le symétrique d'un point par rapport à un autre au compas seul.

Le défi de la semaine : On donne deux points A et B. Construire au compas seul le symétrique de A par rapport à B.

• Niveau requis : savoir se servir d'un compas, et savoir ce qu'est le symétrique d'un point par rapport à un autre.
• Difficulté : exercice assez facile.

Pourquoi faire des mathématiques ?

Euclide insiste toujours auprès de ses élèves pour dire que l'apprentissage des connaissances ne se fait pas dans un but intéressé, mais pour l'amour du savoir. Cependant, un jour, un garçon qui assiste depuis peu au cours d'Euclide demande : "Que puis-je gagner à écouter tout ceci ?" Euclide prend quelques pièces de monnaie et dit à son esclave : "Donne-les lui, puisqu'il tient à faire du gain de ce qu'il apprend !"

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"La véritable finalité de la science est l'honneur de l'esprit humain."

Jacobi

Ces citations sont extraites de l'excellent livre de Bertrand Hauchecorne et Daniel Suratteau : Des mathématiciens de A à Z .

Ce nombre existe-t-il ?

Voici le paradoxe de Richard :

Quand on définit un nombre entier naturel par un texte écrit en toutes lettres, il nous faut un certain nombre de mots. Par exemple, on peut écrire 299 en six mots (deux cent quatre vingt dix neuf), mais aussi en quatre mots (trois cents moins un). Comme nous n'avons qu'un nombre fini de mots dans la langue française, et qu'il y a une infinité d'entiers naturels, il y a donc forcément des nombres qui ne peuvent pas se définir en moins de vingt mots. Parmi ceux-ci, il y en a forcément un plus petit que tous les autres.

Soit N le plus petit entier naturel qui ne peut pas se définir en moins de vingt mots.

Il y a un petit problème : je viens de définir N en dix-huit mots !

C'est assez gênant la première fois qu'on le rencontre, ce truc-là...

P.S. Bravo à Ddpmax pour l'aire du triangle !

ORIENTATION ET VERTIGE

Rarement dans mon métier mes paroles ont une importance aussi capitale qu'elles n'en ont un jour comme aujourd'hui. La réunion avec les parents d'élèves de Terminale S a duré jusqu'à 21h. J'ai pu constater, dans les regards des parents, combien le poids de l'avis du prof de maths concernant les questions d'orientation d'un élève scientifique est considérable. Et il est vrai qu'ayant pu observer de l'intérieur un bon nombre de parcours scientifiques, j'ai des avis assez tranchés (et souvent assez construits) sur la question. Je ne peux pas m'empêcher de penser que l'avenir professionnel de tel ou tel de mes élèves s'est peut-être en partie joué ce soir, dans l'une ou l'autre de mes paroles. Penser cela me donne un peu le vertige. Vertige décuplé quand on voit à quoi tient une orientation, souvent... (un mot qui nous fait vibrer dans le nom d'une école, une ville dans laquelle on a envie d'aller...).

Ayant souvent encouragé les élèves à essayer d'aller en classe préparatoire, je donne ici à tout hasard un lien vers un classement assez complet des classes prépa, qui donnera du même coup une idée du niveau des principales écoles d'ingénieur (il suffit par ailleurs de demander à google "palmares écoles d'ingénieur" pour avoir tous les classements actuels. Trop peu d'élèves s'intéressent au niveau des écoles, alors que c'est un paramètre essentiel.) :

http://scei-concours.org/cadre_statistique.htm

Dans quelques semaines, les dossiers seront faits. Dans quelques mois, l'orientation sera choisie. Et dans 40 ans et quelques, quand sonnera l'heure de la retraite, et qu'ils feront le bilan de leur vie professionnelle, certains diront peut-être : "Ah ! je n'aurais jamais dû écouter le prof ce soir-là !".

J'ai le vertige.

UN SOUTIEN MORAL

"Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater."

Einstein.

Récoltes et semailles

C'est sous ce titre qu'Alexandre Grothendieck, le plus grand géomètre du vingtième siècle, a publié ses mémoires, dont voici un extrait (il s'agit ici de ses souvenirs de collège) :

"Je passais pas mal de mon temps, même pendant les leçons (chut...), à faire des problèmes de maths. Bientôt ceux qui se trouvaient dans le livre ne me suffisaient plus. Peut-être parce qu'ils avaient tendance, à force, à ressembler un peu trop les uns aux autres; mais surtout, je crois, parce qu'ils tombaient un peu trop du ciel, comme ça à la queue-leue-leue, sans dire d'où ils venaient ni où ils allaient. C'étaient les problèmes du livre et pas mes problèmes. Pourtant, les questions vraiment naturelles ne manquaient pas. Ainsi, quand les longueurs a, b, c des trois côtés d'un triangle sont connues, ce triangle est connu (abstraction faite de sa position), donc il doit y avoir une "formule" explicite pour exprimer, par exemple, l'aire du triangle comme fonction de a, b, c. Pareil pour un tétraèdre dont on connaît la longueur des six arêtes - quel est le volume ? Ce coup-là je crois que j'ai dû peiner, mais j'ai dû finir par y arriver, à force. De toute façons, quand une chose me "tenait", je ne comptais pas les heures ni les jours que j'y passais, quitte à oublier tout le reste ! (Et il en est encore ainsi maintenant...)"

Le défi de la semaine : trouver la formule exprimant l'aire d'un triangle en fonction des longueurs de ses côtés.

• Niveau requis : fin de 1ère S.

• Difficulté : exercice difficile (mais pas infaisable).

Bienvenue !

Ce blog s'adresse aussi bien à mes élèves qu'à ma famille, mes collègues et amis... Bref, à tous ceux qui voudront bien le lire.

L'un de mes objectifs est de parvenir à accrocher un certain nombre d'élèves via les mathématiques, sans pour autant faire de ce blog une sorte de prolongement de ma vie professionnelle. La réalisation de ce journal est pour moi avant tout un loisir. Le fait que mes deux passions (les maths et l'enseignement) coïncident avec mon métier ne doit pas prêter à confusion : le contenu de ce blog se veut extra-scolaire.

Dans un premier temps, il n'y aura pas de système de commentaires pour plusieurs raisons, la principale étant que je ne maîtrise pas encore les logiciels de création de blog.

En revanche, il vous suffira de cliquer sur mon nom si vous voulez m'envoyer un e-mail.

Si vous faites partie de mes élèves :

Ce blog s'adresse en priorité à vous. L'un de ses rôles principaux est de vous fournir de la matière pour développer votre intérêt pour les mathématiques, d'une façon libre, non scolaire, et aussi distrayante que possible. Vous trouverez ici tout ce dont j'aimerais vous parler en maths sans pouvoir le faire en classe (pas le temps, pas au programme, etc.)

Par exemple, j'avais promis à mes élèves de seconde de leur indiquer un site internet sur lequel ils pourraient trouver leur date de naissance dans les décimales de pi : c'est typiquement ce que je peux faire ici.

A quand le site sur lequel on pourra trouver dans les décimales de pi le film entier (numérisé) de notre vie ?

Si vous faites partie de ma famille ou de mes amis :

Ce blog s'adresse en priorité à vous. L'un de ses rôles principaux, comme tout blog qui se respecte, est de partager avec vous des morceaux de vie choisis au gré de l'inspiration, des réflexions diverses et autres photos-souvenir qui, je l'espère, donneront vie à ce journal...

Par exemple, vous serez heureux d'apprendre que Marie-Hélène et moi nous marions le 29 avril 2006, ou encore que mon dernier cordage de raquette (qui m'a coûté 19€) a duré moins d'une heure. Le prof m'a dit que j'étais un casseur de cordage, et que c'est un défaut à peu près irrémédiable. Ca faisait longtemps que je rêvais d'avoir un blog pour pouvoir enfin révéler au monde entier ce genre d'information...

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